Произведение чисел арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия – числовая последовательность

Понятие числовой последовательности подразумевает соответствие каждому натуральному числу некоторого действительного значения. Такой ряд чисел может быть как произвольным, так и обладать определенными свойствами – прогрессия. В последнем случае каждый последующий элемент (член) последовательности можно вычислить с помощью предыдущего.

Арифметическая прогрессия – последовательность числовых значений, в которой ее соседние члены разнятся между собой на одинаковое число (подобным свойством обладают все элементы ряда, начиная со 2-ого). Данное число – разница между предыдущим и последующим членом – постоянно и называется разностью прогрессии.

Разность прогрессии: определение

Рассмотрим последовательность, состоящую из j значений A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j принадлежит множеству натуральных чисел N. Арифметическая прогрессия, согласно своего определения, – последовательность, в которой a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Величина d – искомая разность данной прогрессии.

d = a(j) – a(j-1).

Выделяют:

• Возрастающую прогрессию, в таком случае d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, …
• Убывающую прогрессию, тогда d < 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Разность прогрессии и ее произвольные элементы

Если известны 2 произвольных члена прогрессии (i-ый, k-ый), то установить разность для данной последовательности можно на базе соотношения:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, значит d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Разность прогрессии и ее первый член

Данное выражение поможет определить неизвестную величину лишь в случаях, когда известен номер элемента последовательности.

Разность прогрессии и ее сумма

Сумма прогрессии – это сумма ее членов. Для вычисления суммарного значения ее первых j элементов воспользуйтесь соответствующей формулой:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но т.к. a(j) = a(1) + d(j – 1), то S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=((2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Кто-то к слову «прогрессия» относится настороженно, как к очень сложному термину из разделов высшей математики. А между тем самая простая арифметическая прогрессия - работа счётчика такси (где они ещё остались). И понять суть (а в математике нет ничего важнее, чем «понять суть») арифметической последовательности не так сложно, разобрав несколько элементарных понятий.

Математическая числовая последовательность

Числовой последовательностью принято именовать какой-либо ряд чисел, каждое из которых имеет свой номер.

а 1 - первый член последовательности;

а 2 - второй член последовательности;

а 7 - седьмой член последовательности;

а n - n-ный член последовательности;

Однако не любой произвольный набор цифр и чисел интересует нас. Наше внимание сосредоточим на числовой последовательности, у которой значение n-ного члена связано с его порядковым номером зависимостью, которую можно чётко сформулировать математически. Иными словами: численное значение n-ного номера является какой-либо функцией от n.

a - значение члена числовой последовательности;

n - его порядковый номер;

f(n) - функция, где порядковый номер в числовой последовательности n является аргументом.

Определение

Арифметической прогрессией принято именовать числовую последовательность, в которой каждый последующий член больше (меньше) предыдущего на одно и то же число. Формула n-ного члена арифметической последовательности выглядит следующим образом:

a n - значение текущего члена арифметической прогрессии;

a n+1 - формула следующего числа;

d - разность (определённое число).

Нетрудно определить, что если разность положительна (d>0), то каждый последующий член рассматриваемого ряда будет больше предыдущего и такая арифметическая прогрессия будет возрастающей.

На представленном ниже графике нетрудно проследить, почему числовая последовательность получила название «возрастающая».

В случаях, когда разность отрицательная (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Значение заданного члена

Иногда бывает необходимо определить значение какого-либо произвольного члена a n арифметической прогрессии. Можно сделать это путём расчёта последовательно значений всех членов арифметической прогрессии, начиная с первого до искомого. Однако такой путь не всегда приемлем, если, например, необходимо отыскать значение пятитысячного или восьмимиллионного члена. Традиционный расчёт сильно затянется по времени. Однако конкретная арифметическая прогрессия может быть исследована с помощью определённых формул. Существует и формула n-ного члена: значение любого члена арифметической прогрессии может быть определено как сумма первого члена прогрессии с разностью прогрессии, умноженной на номер искомого члена, уменьшенный на единицу.

Формула универсальна для возрастающей и убывающей прогрессии.

Пример расчёта значения заданного члена

Решим следующую задачу на нахождение значения n-ного члена арифметической прогрессии.

Условие: имеется арифметическая прогрессия с параметрами:

Первый член последовательности равен 3;

Разность числового ряда равняется 1,2.

Задание: необходимо отыскать значение 214 члена

Решение: для определения значения заданного члена воспользуемся формулой:

а(n) = а1 + d(n-1)

Подставив в выражение данные из условия задачи имеем:

а(214) = а1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Ответ: 214-ый член последовательности раве 258,6.

Преимущества такого способа расчёта очевидны - всё решение занимает не более 2 строчек.

Сумма заданного числа членов

Очень часто в заданном арифметическом ряду требуется определить сумму значений некоторого его отрезка. Для этого также нет необходимости вычислять значения каждого члена и затем суммировать. Такой способ применим, если число членов, сумму которых необходимо найти, невелико. В остальных случаях удобнее воспользоваться следующей формулой.

Сумма членов арифметической прогрессии от 1 до n равна сумме первого и n-ного членов, помноженной на номер члена n и делённой надвое. Если в формуле значение n-ного члена заменить на выражение из предыдущего пункта статьи, получим:

Пример расчёта

Для примера решим задачу со следующими условиями:

Первый член последовательности равен нулю;

Разность равняется 0,5.

В задаче требуется определить сумму членов ряда с 56-го по 101.

Решение. Воспользуемся формулой определения суммы прогрессии:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Вначале определим сумму значений 101 члена прогрессии, подставив в формулу данные их условия нашей задачи:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Очевидно, для того, чтобы узнать сумму членов прогрессии с 56-го по 101-й, необходимо от S 101 отнять S 55 .

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Таким образом сумма арифметической прогрессии для данного примера:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Пример практического применения арифметической прогрессии

В конце статьи вернёмся к примеру арифметической последовательности, приведённому в первом абзаце - таксометр (счётчик автомобиля такси). Рассмотрим такой пример.

Посадка в такси (в которую входит 3 км пробега) стоит 50 рублей. Каждый последующий километр оплачивается из расчёта 22 руб./км. Расстояние поездки 30 км. Рассчитать стоимость поездки.

1. Отбросим первые 3 км, цена которых включена в стоимость посадки.

30 - 3 = 27 км.

2. Дальнейший расчет - не что иное как разбор арифметического числового ряда.

Номер члена - число км пробега (минус первые три).

Значение члена - сумма.

Первый член в данной задаче будет равен a 1 = 50 р.

Разность прогрессии d = 22 р.

интересующее нас число - значение (27+1)-ого члена арифметической прогрессии - показания счётчика в конце 27-го километра - 27,999… = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

На формулах, описывающих те или иные числовые последовательности, построены расчёты календарных данных на сколь угодно длительный период. В астрономии в геометрической зависимости от расстояния небесного тела до светила находится длина орбиты. Кроме того, различные числовые ряды с успехом применяются в статистике и других прикладных разделах математики.

Другой вид числовой последовательности - геометрическая

Геометрическая прогрессия характеризуется большими, по сравнению с арифметической, темпами изменения. Не случайно в политике, социологии, медицине зачастую, чтобы показать большую скорость распространения того или иного явления, например заболевания при эпидемии, говорят, что процесс развивается в геометрической прогрессии.

N-ный член геометрического числового ряда отличается от предыдущего тем, что он умножается на какое-либо постоянное число - знаменатель, например первый член равен 1, знаменатель соответственно равен 2, тогда:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - значение текущего члена геометрической прогрессии;

b n+1 - формула следующего члена геометрической прогрессии;

q - знаменатель геометрической прогрессии (постоянное число).

Если график арифметической прогрессии представляет собой прямую, то геометрическая рисует несколько иную картину:

Как и в случае с арифметической, геометрическая прогрессия имеет формулу значения произвольного члена. Какой-либо n-ный член геометрической прогрессии равен произведению первого члена на знаменатель прогрессии в степени n уменьшенного на единицу:

Пример. Имеем геометрическую прогрессию с первым членом равным 3 и знаменателем прогрессии, равным 1,5. Найдём 5-й член прогрессии

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Сумма заданного числа членов рассчитывается так же с помощью специальной формулы. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна разности произведения n- ного члена прогрессии на его знаменатель и первого члена прогрессии, делённой на уменьшенный на единицу знаменатель:

Если b n заменить пользуясь рассмотренной выше формулой, значение суммы n первых членов рассматриваемого числового ряда примет вид:

Пример. Геометрическая прогрессия начинается с первого члена, равного 1. Знаменатель задан равным 3. Найдём сумму первых восьми членов.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)

В которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии .

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

Свойства арифметической прогрессии

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k -го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k -го номера. Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+...+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

При изучении алгебры в общеобразовательной школе (9 класс) одной из важных тем является изучение числовых последовательностей, к которым относятся прогрессии -геометрическая и арифметическая. В данной статье рассмотрим арифметическую прогрессию и примеры с решениями.

Что собой представляет арифметическая прогрессия?

Чтобы это понять, необходимо дать определение рассматриваемой прогрессии, а также привести основные формулы, которые далее будут использованы при решении задач.

Известно, что в некоторой прогрессии алгебраической 1-й член равен 6, а 7-й член равен 18. Необходимо найти разность и восстановить эту последовательность до 7 члена.

Воспользуемся формулой для определения неизвестного члена: a n = (n - 1) * d + a 1 . Подставим в нее известные данные из условия, то есть числа a 1 и a 7 , имеем: 18 = 6 + 6 * d. Из этого выражения можно легко вычислить разность: d = (18 - 6) /6 = 2. Таким образом, ответили на первую часть задачи.

Чтобы восстановить последовательность до 7 члена, следует воспользоваться определением алгебраической прогрессии, то есть a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и так далее. В итоге восстанавливаем всю последовательность: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример №3: составление прогрессии

Усложним еще сильнее условие задачи. Теперь необходимо ответить на вопрос, как находить арифметическую прогрессию. Можно привести следующий пример: даны два числа, например, - 4 и 5. Необходимо составить прогрессию алгебраическую так, чтобы между этими помещалось еще три члена.

Прежде чем начинать решать эту задачу, необходимо понять, какое место будут занимать заданные числа в будущей прогрессии. Поскольку между ними будут находиться еще три члена, тогда a 1 = -4 и a 5 = 5. Установив это, переходим к задаче, которая аналогична предыдущей. Снова для n-го члена воспользуемся формулой, получим: a 5 = a 1 + 4 * d. Откуда: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Здесь получили не целое значение разности, однако оно является рациональным числом, поэтому формулы для алгебраической прогрессии остаются теми же самыми.

Теперь добавим найденную разность к a 1 и восстановим недостающие члены прогрессии. Получаем: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, что совпало с условием задачи.

Пример №4: первый член прогрессии

Продолжим приводить примеры арифметической прогрессии с решением. Во всех предыдущих задачах было известно первое число алгебраической прогрессии. Теперь рассмотрим задачу иного типа: пусть даны два числа, где a 15 = 50 и a 43 = 37. Необходимо найти, с какого числа начинается эта последовательность.

Формулы, которыми пользовались до настоящего времени, предполагают знание a 1 и d. В условии задачи об этих числах ничего неизвестно. Тем не менее выпишем выражения для каждого члена, о котором имеется информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получили два уравнения, в которых 2 неизвестные величины (a 1 и d). Это означает, что задача сводится к решению системы линейных уравнений.

Указанную систему проще всего решить, если выразить в каждом уравнении a 1 , а затем сравнить полученные выражения. Первое уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второе уравнение: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Приравнивая эти выражения, получим: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, откуда разность d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (приведены лишь 3 знака точности после запятой).

Зная d, можно воспользоваться любым из 2 приведенных выше выражений для a 1 . Например, первым: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Если возникают сомнения в полученном результате, можно его проверить, например, определить 43 член прогрессии, который задан в условии. Получим: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Небольшая погрешность связана с тем, что при вычислениях использовалось округление до тысячных долей.

Пример №5: сумма

Теперь рассмотрим несколько примеров с решениями на сумму арифметической прогрессии.

Пусть дана числовая прогрессия следующего вида: 1, 2, 3, 4, ...,. Как рассчитать сумму 100 этих чисел?

Благодаря развитию компьютерных технологий можно эту задачку решить, то есть последовательно сложить все числа, что вычислительная машина сделает сразу же, как только человек нажмет клавишу Enter. Однако задачу можно решить в уме, если обратить внимание, что представленный ряд чисел является прогрессией алгебраической, причем ее разность равна 1. Применяя формулу для суммы, получаем: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Любопытно отметить, что эта задача носит название "гауссовой", поскольку в начале XVIII века знаменитый немецкий еще будучи в возрасте всего 10 лет, смог решить ее в уме за несколько секунд. Мальчик не знал формулы для суммы алгебраической прогрессии, но он заметил, что если складывать попарно числа, находящиеся на краях последовательности, то получается всегда один результат, то есть 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а поскольку этих сумм будет ровно 50 (100 / 2), то для получения правильного ответа достаточно умножить 50 на 101.

Пример №6: сумма членов от n до m

Еще одним типичным примером суммы арифметической прогрессии является следующий: дан такой чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., нужно найти, чему будет равна сумма его членов с 8 по 14.

Задача решается двумя способами. Первый из них предполагает нахождение неизвестных членов с 8 по 14, а затем их последовательное суммирование. Поскольку слагаемых немного, то такой способ не является достаточно трудоемким. Тем не менее предлагается решить эту задачу вторым методом, который является более универсальным.

Идея заключается в получении формулы для суммы алгебраической прогрессии между членами m и n, где n > m - целые числа. Выпишем для обоих случаев два выражения для суммы:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Поскольку n > m, то очевидно, что 2 сумма включает в себя первую. Последнее умозаключение означает, что если взять разность между этими суммами, и добавить к ней член a m (в случае взятия разности он вычитается из суммы S n), то получим необходимый ответ на задачу. Имеем: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m/2). В это выражение необходимо подставить формулы для a n и a m . Тогда получим: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Полученная формула является несколько громоздкой, тем не менее сумма S mn зависит только от n, m, a 1 и d. В нашем случае a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Подставляя эти числа, получим: S mn = 301.

Как видно из приведенных решений, все задачи основываются на знании выражения для n-го члена и формулы для суммы набора первых слагаемых. Перед тем как приступить к решению любой из этих задач, рекомендуется внимательно прочитать условие, ясно понять, что требуется найти, и лишь затем приступать к решению.

Еще один совет заключается в стремлении к простоте, то есть если можно ответить на вопрос, не применяя сложные математические выкладки, то необходимо поступать именно так, поскольку в этом случае вероятность допустить ошибку меньше. Например, в примере арифметической прогрессии с решением №6 можно было бы остановиться на формуле S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m , и разбить общую задачу на отдельные подзадачи (в данном случае сначала найти члены a n и a m).

Если возникают сомнения в полученном результате, то рекомендуется его проверять, как это было сделано в некоторых приведенных примерах. Как находить арифметическую прогрессию, выяснили. Если разобраться, то это не так сложно.

Например, последовательность \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)… является арифметической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего на три (может быть получен из предыдущего прибавлением тройки):

В этой прогрессии разность \(d\) положительна (равна \(3\)), и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими .

Однако \(d\) может быть и отрицательным числом. Например , в арифметической прогрессии \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… разность прогрессии \(d\) равна минус шести.

И в этом случае каждый следующий элемент будет меньше, чем предыдущий. Эти прогрессии называются убывающими .

Обозначение арифметической прогрессии

Прогрессию обозначают маленькой латинской буквой.

Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами).

Их обозначают той же буквой что и арифметическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.

Например, арифметическая прогрессия \(a_n = \left\{ 2; 5; 8; 11; 14…\right\}\) состоит из элементов \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и так далее.

Иными словами, для прогрессии \(a_n = \left\{2; 5; 8; 11; 14…\right\}\)

Решение задач на арифметическую прогрессию

В принципе, изложенной выше информации уже достаточно, чтобы решать практически любую задачу на арифметическую прогрессию (в том числе из тех, что предлагают на ОГЭ).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями \(b_1=7; d=4\). Найдите \(b_5\).
Решение:

Ответ: \(b_5=23\)

Пример (ОГЭ). Даны первые три члена арифметической прогрессии: \(62; 49; 36…\) Найдите значение первого отрицательного члена этой прогрессии..
Решение:

Ответ: \(-3\)

Пример (ОГЭ). Даны несколько идущих подряд элементов арифметической прогрессии: \(…5; x; 10; 12,5...\) Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).
Решение:

Ответ: \(7,5\).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана следующими условиями: \(a_1=-11\); \(a_{n+1}=a_n+5\) Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:

Ответ: \(S_6=9\).

Пример (ОГЭ). В арифметической прогрессии \(a_{12}=23\); \(a_{16}=51\). Найдите разность этой прогрессии.
Решение:

Ответ: \(d=7\).

Важные формулы арифметической прогрессии

Как видите, многие задачи по арифметической прогрессии можно решать, просто поняв главное – то, что арифметическая прогрессия есть цепочка чисел, и каждый следующий элемент в этой цепочке получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа (разности прогрессии).

Однако порой встречаются ситуации, когда решать «в лоб» весьма неудобно. Например, представьте, что в самом первом примере нам нужно найти не пятый элемент \(b_5\), а триста восемьдесят шестой \(b_{386}\). Это что же, нам \(385\) раз прибавлять четверку? Или представьте, что в предпоследнем примере надо найти сумму первых семидесяти трех элементов. Считать замучаешься…

Поэтому в таких случаях «в лоб» не решают, а используют специальные формулы, выведенные для арифметической прогрессии. И главные из них это формула энного члена прогрессии и формула суммы \(n\) первых членов.

Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), где \(a_1\) – первый член прогрессии;
\(n\) – номер искомого элемента;
\(a_n\) – член прогрессии с номером \(n\).

Эта формула позволяет нам быстро найти хоть трехсотый, хоть миллионный элемент, зная только первый и разность прогрессии.

Пример. Арифметическая прогрессия задана условиями: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Найдите \(b_{246}\).
Решение:

Ответ: \(b_{246}=1850\).

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\), где

\(a_n\) – последний суммируемый член;

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями \(a_n=3,4n-0,6\). Найдите сумму первых \(25\) членов этой прогрессии.
Решение:

Ответ: \(S_{25}=1090\).

Для суммы \(n\) первых членов можно получить еще одну формулу: нужно просто в \(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\) \(\cdot 25\) вместо \(a_n\) подставить формулу для него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получим:

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\) \(\cdot n\), где

\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(d\) – разность прогрессии;
\(n\) – количество элементов в сумме.

Пример. Найдите сумму первых \(33\)-ех членов арифметической прогрессии: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

Ответ: \(S_{33}=-231\).

Более сложные задачи на арифметическую прогрессию

Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения практически любой задачи на арифметическую прогрессию. Завершим тему рассмотрением задач, в которых надо не просто применять формулы, но и немного думать (в математике это бывает полезно ☺)

Пример (ОГЭ). Найдите сумму всех отрицательных членов прогрессии: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

Ответ: \(S_{65}=-630,5\).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задана условиями: \(a_1=-33\); \(a_{n+1}=a_n+4\). Найдите сумму от \(26\)-го до \(42\) элемента включительно.
Решение:

Ответ: \(S=1683\).

Для арифметической прогрессии существует еще несколько формул, которые мы не рассматривали в данной статье ввиду их малой практической полезности. Однако вы без труда можете найти их .